圆锥曲线

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圓錐曲線(英語:conic section),又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲線, 是數學、幾何學中通過平切圓錐(嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切)得到 的曲線,包括圓,橢圓,拋物線,雙曲線及一些退化類型。

圓錐曲線在約公元前200年時就已被命名和研究了,其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯(Apollonius), 那時阿波羅尼阿斯對它們的性質已做了系統性的研究。

圓錐曲線應用最廣泛的定義為(橢圓,拋物線,雙曲線的統一定義):動點到一定點(焦點) 的距離與其到一定直線(準線)的距離之比為常數(離心率e)的點的集合是 圓錐曲線。對於0<e<1得到橢圓,對於e=1得到拋物線, 對於e>1得到雙曲線。


圓錐曲線的定義

作為圓錐面和平面的交線

如上圖所示,有三種圓錐曲線:橢圓(ellipse)、拋物線(parabola)和雙曲線(hyperbola)。圓作為橢圓 的一種特殊形式可以看作橢圓。

  • 橢圓線:當平面切割圓錐面為一個閉合曲線時,該曲線為一個橢圓或者圓周;

  • 拋物線:當切割平面與圓錐面的母線平行時截得到的曲線;

  • 雙曲線:其它情形,相交曲線為雙曲線。


平面幾何定義

圓錐曲線在平面幾何中可以用到定點(焦點,focus)的距離等於常數倍的到定直線(對稱軸, directrix)的距離的所有點的軌跡。 這個常數定義為離心率(eccentricity e)。

  • 0<e<1時為橢圓;

  • e=1 時為拋物線;

  • e>1時為雙曲線。


圓錐曲線在直角坐標下的標準方程

  • 橢圓:x2a2+y2b2=1
  • 雙曲線:x2a2y2b2=1
  • 拋物線:y=4ax

圓錐曲線的一般形式及其類型判定方法


圓錐曲線的一般形式為:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

寫為矩陣的形式為:

(xy)(AB/2B/2C)(xy)+(DE)(xy)+F=0

或者

(xy1)(AB/2D/2B/2CE/2D/2E/2F)(xy1)=0


判別式

Δ=B24AC,則有:

  • B24AC<0,則二次曲線為一橢圓;

    • A=C,B=0,則曲線為一圓周;
  • B24AC=0,則二次曲線為一拋物線;

  • B24AC>0,則二次曲線為一雙曲線。

離心率為:

e=2(AC)2+B2η(A+C)+(Ac)2+B2 如果上面的三階行列式取值小於零,則η=1,若上面的三階行列式取值大於零,則η=1.


一般方程如何標準化

對於橢圓和雙曲線的方程: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 通過變換可以化為以下形式 x2S/(λ21λ2)+y2S/(λ1λ22)=1

這裡λ1,λ2為下述矩陣的特徵值:

(AB/2B/2C)

S為上述三階矩陣的行列式。

參考文獻

  1. Ayoub, A. B., “The central conic sections revisited”, Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section