圆锥曲线
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圓錐曲線(英語:conic section),又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲線, 是數學、幾何學中通過平切圓錐(嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切)得到 的曲線,包括圓,橢圓,拋物線,雙曲線及一些退化類型。
圓錐曲線在約公元前200年時就已被命名和研究了,其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯(Apollonius), 那時阿波羅尼阿斯對它們的性質已做了系統性的研究。
圓錐曲線應用最廣泛的定義為(橢圓,拋物線,雙曲線的統一定義):動點到一定點(焦點) 的距離與其到一定直線(準線)的距離之比為常數(離心率e)的點的集合是 圓錐曲線。對於0<e<1得到橢圓,對於e=1得到拋物線, 對於e>1得到雙曲線。

圓錐曲線的定義
作為圓錐面和平面的交線
如上圖所示,有三種圓錐曲線:橢圓(ellipse)、拋物線(parabola)和雙曲線(hyperbola)。圓作為橢圓 的一種特殊形式可以看作橢圓。
橢圓線:當平面切割圓錐面為一個閉合曲線時,該曲線為一個橢圓或者圓周;
拋物線:當切割平面與圓錐面的母線平行時截得到的曲線;
雙曲線:其它情形,相交曲線為雙曲線。
平面幾何定義
圓錐曲線在平面幾何中可以用到定點(焦點,focus)的距離等於常數倍的到定直線(對稱軸, directrix)的距離的所有點的軌跡。 這個常數定義為離心率(eccentricity e)。
當0<e<1時為橢圓;
當e=1 時為拋物線;
當e>1時為雙曲線。
圓錐曲線在直角坐標下的標準方程
- 橢圓:x2a2+y2b2=1

- 雙曲線:x2a2−y2b2=1

- 拋物線:y=4ax

圓錐曲線的一般形式及其類型判定方法
圓錐曲線的一般形式為:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0寫為矩陣的形式為:
(xy)(AB/2B/2C)(xy)+(DE)(xy)+F=0
或者
(xy1)(AB/2D/2B/2CE/2D/2E/2F)(xy1)=0
判別式
令Δ=B2−4AC,則有:
若B2−4AC<0,則二次曲線為一橢圓;
- 若A=C,B=0,則曲線為一圓周;
若B2−4AC=0,則二次曲線為一拋物線;
若B2−4AC>0,則二次曲線為一雙曲線。
離心率為:
e=√2√(A−C)2+B2η(A+C)+√(A−c)2+B2 如果上面的三階行列式取值小於零,則η=1,若上面的三階行列式取值大於零,則η=−1.
一般方程如何標準化
對於橢圓和雙曲線的方程: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 通過變換可以化為以下形式 x′2−S/(λ21λ2)+y′2−S/(λ1λ22)=1
這裡λ1,λ2為下述矩陣的特徵值:
S為上述三階矩陣的行列式。
參考文獻
Ayoub, A. B., “The central conic sections revisited”, Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.
https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section