Guoning Wu

Guoning Wu

Associate Professor of China University of Petroleum at Beijing

级数

Undergraduate course, China University of Petroleum at Beijing, Department of Science, 2020

这部分主要介绍无穷级数。

早在公元前450年，古希腊有一位名叫Zeno的学者，曾提出若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，”Achilles（希腊神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。

有限===>无限。 
这种“无限多个数相加，相乘是否一定有意义？若不一定，怎么来判別，无限多个数相加是否符合交换律，结合律等等。对于无限多个函数，......."

目录

第一节 常数项级数

设$x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots$ 是无限可列个实数，则称

$x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \cdots$

为无穷项级数（简称级数），记为$\sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$, 其中，$x_n$ 称为级数的通项或一般项。

数项级数的部分和数列${S_n}$定义为：

$\begin{split} S_1 &= x_1 \newline S_2 &= x_1 + x_2 \newline \vdots\newline S_n &= x_1 + x_2 + \cdots + x_n \end{split} $

如果部分和数列${S_n}$ 收敛于有限数$S$，则称无穷级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n$ 收敛，且和为$S$ ，记为：

$S = \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$

如果部分和数列发散，则称无穷级数发散。

例子

设$\vert q \vert < 1$, 讨论几何级数（等比级数）

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^{n-1} = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n + \cdots$

的敛散性。

$S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1-q^n}{1-q}$
所以，当$\vert q \vert < 1$时，级数收敛于$\dfrac{1}{1-q}$.

例子 讨论数项级数

$\dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{2\cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)} + \cdots $

的收敛性。

$S_n = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1}$
所以级数收敛于$1$.

例子 讨论数项级数

$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} + \cdots $

的收敛性。

$\begin{split} S_n & = 1 + \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) \newline & + \left(\dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{8}\right) \newline & + \left(\dfrac{1}{9} + \cdots + \dfrac{1}{16}\right)\newline & + \cdots \newline & + \left(\dfrac{1}{2^n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}\right) \newline & + \cdots \newline & > 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{2} + \cdots \end{split} $
所以级数发散。

例子 讨论级数：

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} = 1 - 1 + 1 + \cdots + (-1)^{n-1} + \cdots $

的敛散性。

$S_{2n} = 0, S_{2n+1} = 1$,所以级数发散。

收敛级数的性质

  1. 线性。设$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n = A, \sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n = B, \alpha, \beta$为两个常数，则有： \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(\alpha a_n + \beta b_n\right) = \alpha A + \beta B\)

  2. 在级数中去掉、增加或者改变级数的有限项不影响级数的敛散性。

  3. 如果级数$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n$收敛，那么对这个级数的项任意添加括弧后形成的级数仍收敛，且和不变。

  4. 如果级数$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n$收敛，则$\lim\limits_{n \to \infty}u_n = 0$.

例子 讨论级数：

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n - 1}{2^n}$

的敛散性。

提示： $S_n = 2S_n - S_n$

例子 讨论级数：

$\sum_{n=1}^{\infty} \arctan\frac{1}{2n^2}$

的敛散性。

提示：
$\arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x - y}{1 + xy} \arctan \frac{1}{2n^2} = \arctan \frac{1}{2n-1} - \arctan \frac{1}{2n + 1}$

柯西收敛原理

级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的充分必要条件为： 任给$\epsilon>0$，总存在正数$N$，使得当$m > N$ 以及对于任意的正整数$p$， 都有：

$\left| u_{m+1} + u_{m+2} + \cdots + u_{m+p} \right| < \epsilon.$

第一次作业

证明下列级数收敛，并求其和

  • $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n}\right) + \cdots $
提示：$\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n}\right) =\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2^n} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{3^n} $
  • $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$
提示：$ \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} =\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{n(n+1)} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right] $
  • $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\sqrt{n+2} - 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \right)$
提示：$ \sqrt{n+2} - 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n} = \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} - \left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) $

第二节 正项级数

正向级数收敛性的一般判别法则

若数项级数的各项符号相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只需研究各项都是正数组成的级数–正项级数。

正向级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的充要条件是：部分和数列$S_n$有界。

比较判别法

设$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 是两个正项级数，如果存在某个正数$N$ ，对于一切$n > N$，都有：$u_n \le v_n$，则：

  • 若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；

  • 若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2 - n + 1}$的敛散性。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac{\pi}{n}$的敛散性。

比较判别法的极限形式

设$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 是两个正项级数，如果$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = l$， 则：

  • 当$0 < l < \infty$，则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 同时收敛或同时发散；

  • 当$l = 0$，级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛时，则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛;

  • 当$l = +\infty$，级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散时，则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散.

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n-n}$的敛散性。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin \dfrac{1}{n}$的敛散性。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(1 - \cos \frac{\pi}{n}\right)$的敛散性。

比值判别法和根值判别法

设$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，且存在某正数$N_0$及常数 $q (0 < q < 1)$。

  • 对于一切$n > N_0$，成立不等式$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \le q$, 则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。

  • 对于一切$n > N_0$，成立不等式$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$, 则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

设$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，且

$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$

则，

  • 当$q < 1$，则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。

  • 当$q > 1$ 或$q = \infty$，则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

当$q=1$时，级数可能收敛，也可能发散。例如：$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}, \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$.

d’Alembert判别法

设$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n(x_n \ne 0)$是正项级数，

  • 当$\displaystyle \overline{\lim\limits_{n\to\infty}} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \overline{r} < 1$, 则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n(x_n \ne 0)$收敛；

  • 当$\displaystyle \underline{\lim\limits_{n\to\infty}} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \underline{r} > 1$, 则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n(x_n \ne 0)$发散；

  • 当$\displaystyle \overline{r} \ge 1$或$\displaystyle \underline{r} \le 1$, 判别法失效，即级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n(x_n \ne 0)$可能收敛，也可能发散。

设${x_n}$是正项数列，则有： \(\underline{\lim\limits_{n\to \infty}}\dfrac{x_{n+1}}{x_n} \le \underline{\lim\limits_{n\to \infty}}\sqrt[n]{x_n} \le \overline{\lim\limits_{n \to \infty}}\sqrt[n]{x_n} \le \overline{\lim\limits_{n\to \infty}}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\)

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}(x>0)$ 的敛散性。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + \cdots $的敛散性。

设$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，且存在某正数$N_0$及常数$q (0 < q < 1).$

  • 对于一切$n > N_0$，成立不等式 $ \sqrt[n]{u_n} \le q $ 则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
  • 对于一切$n > N_0$，成立不等式 $ \sqrt[n]{u_n} \ge 1 $ 则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

设$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，且$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = q$, 则

  • 当$q < 1$，则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。

  • 当$q > 1$，则级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

Cauchy判别法

设$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n(x_n \ne 0)$是正项级数, $\displaystyle r = \overline{\lim\limits_{n\to \infty}}\sqrt[n]{x_n}$,则，

  • 当$r<1$时，级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n(x_n \ne 0)$收敛；

  • 当$r>1$时，级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n(x_n \ne 0)$发散；

  • 当$r=1$时，级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n(x_n \ne 0)$可能收敛，也可能发散。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 + (-1)^n}{2^n}$ 的敛散性。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1 + x^{2n}}$ 的敛散性。

例子 讨论下列级数的敛散性$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}$, $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{\left(2 + \frac{1}{n}\right)^n}$

积分判别法

设 $f$ 为 $[1, +\infty)$ 上非负递减函数，那么正向级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与反常积分 $\displaystyle \int_1^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$同时收敛或发散。

例子 讨论级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^p}$ 的敛散性。

例子 讨论下列级数的敛散性$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left(\ln n\right)^n}$, $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n \left(\ln \ln n\right)^n}$

Raabe判别法

对于正项级数$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$，成立$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} = 1$,这时Cauchy判别法和d’Alembert判别法失效。

设$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n$为正项级数， $\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}n\left(\dfrac{x_n}{x_{n+1}}-1\right) = r$，则

  • 当$r > 1$时，级数收敛；
  • 当$r < 1$时，级数发散。；
设$\displaystyle s > t > 1, f(x) = 1 + sx - (1+x)^t$, 由于$\displaystyle f(0) = 0, f'(0) = s - t > 0$，可知存在$\delta > 0 $ 成立 $$ 1 + sx > (1 + x)^t $$ 当$r > 1$时，取$r > s > t > 1$,由于$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}n \left(\dfrac{x_n}{x_{n+1}} - 1\right) = r$ , 对于充分大的$n$, 成立 $$ \dfrac{x_n}{x_{n+1}} > 1 + \dfrac{s}{n} > (1 + \dfrac{1}{n})^t = \dfrac{(n+1)^t}{n^t} $$ 这说明正项数列$\displaystyle \left\{n^t x_n\right\}$ 从某项开始单调减少，因而有上界。设 $$ n^t x_n \le A $$ 与时有， $$ x_n \le \dfrac{A}{n^t} $$ 根据比较判别法，知级数收敛。 当$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}n\left(\dfrac{x_n}{x_{n+1}}-1\right) = r < 1$，则对于充分大的n, 有 $$ \dfrac{x_n}{x_{n+1}} < 1 + \dfrac{1}{n} = \dfrac{n+1}{n} $$ 这说明正项数列$\displaystyle\left\{nx_n\right\}$从某项开始单调增加，因而存在正整数$N$与实数$a>0$，使得 $$ nx_n > a $$ 于是有， $$ x_n > \dfrac{a}{n} $$ 所以原级数发散。

例子 判别级数$\displaystyle 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \dfrac{1}{2n+1}$的敛散性。

第二次作业

  • 判别下列级数的敛散性

    • $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + a^2}$
    $\clubsuit \dfrac{1}{n^2 + a^2} \sim \dfrac{1}{n^2}$
    • $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n\frac{\pi}{3^n}$
    $\clubsuit \dfrac{2^n \pi}{3^n} \sim \dfrac{2^n}{3^n}$
    • $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{n\sqrt[n]n}$
    $\clubsuit \dfrac{1}{n\sqrt[n]{n}}/\dfrac{1}{n} \to \pi$
    • $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{10^n}$
    $ \clubsuit \dfrac{(n+2)!}{10^{n+1}}/\dfrac{(n+1)!}{10^n} \to \infty$
    • $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$
    $\clubsuit \dfrac{(n+1)^2}{2^{n+1}}/\dfrac{n^2}{2^n} \to \dfrac{1}{2}$

  • 采用积分判别法判别下列级数的敛散性

    • $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$
    $\clubsuit f(x) = \dfrac{1}{1+x^2} $, 采用积分判别法，单调递减趋于0.
    • $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}$
    $\clubsuit f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}$, 采用积分判别法，单调递减趋于0.

  • 证明题

设$\displaystyle a_n \ge 0, n = 1,2, \cdots$ 且$na_n$有界，证明$\displaystyle a_n^2$收敛。

$\clubsuit \left|n a_n\right| \le M(M >0)\Rightarrow \left|a_n\right| \le \dfrac{M}{n} \Rightarrow \left| a_n^2 \right| \le \dfrac{M^2}{n^2} $

第三节 正项级数

📚参考书目

📖1. 《高等数学》上下册（第七版），同济大学，高等教育出版社，2014.7.

📖2. 《数学分析》上下册（第二版），陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，2004.

📖3. 《数学分析》上下册（第二版），华东师范大学数学系，高等教育出版社，2010.

📖4. Mathematical Analysis I,II, 2nd ed. V. A. Zorich, Springer, 2015.

📖5. 数学分析中的典型问题与方法, 裴礼文, 高等教育出版社, 2015.

教学日历:

Calculus and its Visualization: an Introduction

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