定积分的应用

Undergraduate course, China University of Petroleum at Beijing, Department of Science, 2020

这部分介绍一元函数定积分的应用。

📌1. 求平面图形面积

直角坐标下求面积

一般地，求由 $y = f_2(x), y = f_x(x)$ 以及两条直线 $x = a, x = b$ 所围成的图形的面积为：

$A = \int_a^b \vert f_2(x) - f_1(x) \vert\, \mathrm{d}x$

参数方程下求面积

极坐标下求二重积

极坐标下求面积公式为：

$A = \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}r^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta$

下图为公式的推导，及其求 $r = 4 + 4\cos \theta(0 \le \theta \le 2\pi)$ 的面积。

设一个几何体 $S$ 自变量 $x$ 的变化范围为： $[a,b]$ .在 $x$ 处的截面的面积为 $A(x)$ ，

当区间 $[a,b]$ 被分割为：

$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$

则在 $[x_{k-1},x_k]$ 区间上对应的几何体体积约为：

$V_k = A(x_k)\Delta x_k$

其中 $x_k = x_k - x_{k-1}, A_k$ 为 $x = x_k$ 处的切面的面积。

所以几何体 $S$ 的体积为：

$V = \int_a^b A(x)\, \mathrm{d}x.$

✏️例子

设一个锥体高度为3米，地面为3米的正方形，其垂直于 $x$ 轴的截面的边长为 $x$ 米，求其体积。

解：

$V \int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9m^3$

✏️例子

祖暅原理

✏️例子

求下列楔形几何体的体积

解：

$V = \int_a^b A(x)\, \mathrm{d}x = \int_0^3 2x \sqrt{9 - x^2}\, \mathrm{d}x = 18$