定积分的应用

Undergraduate course, China University of Petroleum at Beijing, Department of Science, 2020

这部分介绍一元函数定积分的应用。

📌1. 求平面图形面积

直角坐标下求面积

一般地，求由$y = f_2(x), y = f_x(x)$以及两条直线$x = a, x = b$所围成的图形的面积为：

$A = \int_a^b \vert f_2(x) - f_1(x) \vert\, \mathrm{d}x$

参数方程下求面积

极坐标下求二重积

极坐标下求面积公式为：

$A = \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}r^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta$

下图为公式的推导，及其求$r = 4 + 4\cos \theta(0 \le \theta \le 2\pi)$的面积。

设一个几何体$S$自变量$x$的变化范围为：$[a,b]$.在$x$处的截面的面积为$A(x)$，

当区间$[a,b]$被分割为：

$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$

则在$[x_{k-1},x_k]$区间上对应的几何体体积约为：

$V_k = A(x_k)\Delta x_k$

其中$x_k = x_k - x_{k-1}, A_k$为$x = x_k$处的切面的面积。

所以几何体$S$的体积为：

$V = \int_a^b A(x)\, \mathrm{d}x.$

✏️例子

设一个锥体高度为3米，地面为3米的正方形，其垂直于$x$轴的截面的边长为$x$米，求其体积。

解： $V \int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9m^3$

✏️例子

祖暅原理

✏️例子

求下列楔形几何体的体积

解： $V = \int_a^b A(x)\, \mathrm{d}x = \int_0^3 2x \sqrt{9 - x^2}\, \mathrm{d}x = 18$